Un'ombra di dubbio

Mi dispiacerebbe cogliere in fallo scienziati illustri; ma mi sono imbattuto in un'esposizione di calcolo delle probabilità che mi ha dato molto da pensare.
Ho iniziato a leggere "La fisica del diavolo" (5a edizione, Bollati Boringhieri 2012) del fisico Jim Al Khalili dell'Università del Surrey, nella speranza di capire un pò di più di una materia a me piuttosto ostica, che l'autore, ottimo e famoso divulgatore, si propone di esporre in modo piacevole attraverso paradossi e fatti apparentemente contrari al senso comune e la loro spiegazione. Interessante.

Nel primo capitolo si fa un pò di "riscaldamento mentale" con qualche elemento di teoria delle probabilità, prima di addentrarsi nella fisica più "dura" e la lettura risulta in effetti piacevole.

Si parla di probabilità condizionale, e come in tutti i testi che affrontano l'argomento, viene ripresentato il canonico "Paradosso di Monty Hall". E' in effetti un caso divertente e vale la pena di riproporlo brevemente: si rifà ad un antico gioco a premi televisivo americano: il concorrente veniva posto di fronte a una scelta fra tre porte chiuse, o fra tre scatole. Una nasconde un premio di valore, e le altre due sono vuote o celano cianfrusaglie. Il concorrente sceglie, diciamo, una scatola, ed il conduttore (Monty Hall, appunto), che conosce la disposizione dei premi, cerca di insinuargli dubbi, tenta di indurlo ad accettare un premio modesto e rinunciare alla scatola, e così via.
Infine, il conduttore del gioco apre una delle due scatole rimaste sul tavolo e fa vedere che è vuota; poi propone al concorrente: "Ora, se vuoi, puoi scambiare la scatola che hai scelto con l'altra."
A questo punto che cosa si dovrebbe fare ?
La questione fu posta, molti anni dopo, da un lettore della rivista Parade nella rubrica tenuta da Marilyn vos Savant, donna divenuta celebre per avere il Quoziente di Intelligenza più alto mai misurato (185); la vos Savant rispose che il giocatore avrebbe dovuto senz'altro cambiare la sua scelta.
Apriti cielo ! Matematici ed accademici insorsero contro di lei, ricevette lettere di protesta e persino di insulti, richieste di rettifica e ingiunzioni a scusarsi, riconoscere l'errore e arrendersi all'evidenza: alla prima scelta si ha il 33 % di probabilità di indovinare il premio; una volta eliminata una delle scatole "perdenti", ciascuna delle altre avrà il 50 % di probabilità di essere quella buona: non c'è nessun motivo per cambiare.
Ma non è così. Sarebbe così se tutte le scelte fossero casuali, ma nel sistema c'è un elemento che agisce in modo non casuale. Il conduttore, che conosce il contenuto delle scatole, non aprirà mai la scatola contenente il premio, facendo finire il gioco: aprirà sempre una scatola vuota. Quindi, se all'inizio il premio aveva il 33 % di probabilità di essere nelle mani del concorrente, ed il 67 % di essere in una delle scatole restanti, dopo l'apertura della scatola vuota le probabilità del concorrente di avere indovinato la scelta non cambiano affatto: rimangono del 33 %, mentre il restante 67 % si è concentrato tutto nell'unica scatola rimasta. Cambiando la sua scelta il concorrente raddoppia le sue probabilità di vincita. Marilyn vos Savant aveva ragione.
Fin qui tutto chiaro.
Ma nell'allargare la visuale sull'effetto delle conoscenze a priori sul calcolo delle probabilità, Al Khalili si avventura in un esempio che mi è suonato davvero stonato: testo originale:

"Supponiamo di voler comprare due gattini. Chiamiamo il negozio di animali e il proprietario ci dice che due gattini fratelli sono appena arrivati in negozio quel giorno, uno nero e uno tigrato. Chiediamo se sono maschi o femmine e consideriamo due possibili risposte del negoziante:
a) Dice: "Ne ho controllato uno, ed è maschio". Con questa sola informazione, qual è la probabiliità che entrambi i gattini siano maschi ?
b) Dice: " Ho controllato quello nero, ed è maschio". Qual è in questo caso la probabilità che entrambi siano maschi ?
La risposta non è la stessa nei due casi. Sebbene in entrambi i casi sappiamo che almeno uno dei due gatti è maschio, è solo nel secondo caso che sappiamo quale. Questa informazione in più cambia le probabilità, vediamo come.
Iniziamo elencando tutti i possibili casi:

Nero Tigrato
1 Maschio Maschio
2 Maschio Femmina
3 Femmina Maschio
4 Femmina Femmina

Consideriamo ora la prima risposta del negoziante: uno dei due è maschio. Questo ci dice che le possibilità sono in tutto tre, le prime tre nella tabella: entrambi maschi, il nero è maschio e il tigrato è femmina, o il nero è femmina e il tigrato è maschio. quindi c'è una probabilità su tre che siano entrambi maschi.
Però, se la risposta del negoziante è: quello nero è maschio, questa informazione aggiuntiva elimina le opzioni 3 e 4 nella tabella, lasciando solo due possibilità: o sono entrambi maschi, o il nero è maschio e il tigrato è femmina.
Ora le probabilità che siano entrambi maschi è una su due."

Questa esposizione mi ha lasciato diversi dubbi: "nero" e "tigrato" sono davvero delle conoscenze a priori in grado di influire sulle probabilità ?
Aggiungo io un altro caso: se il negoziante non avesse dato nessuna aggettivazione identificativa ai due cuccioli e, omettendo qualsiasi indicazione sui colori, avesse detto semplicemente: "Ho due gattini; ne ho controllato uno, ed è maschio" le probabilità che siano maschi tutti e due ritornano ancora al 50 % (quello controllato è maschio, e quindi dipende soltanto dal sesso di quello che non è stato controllato); c'è qualche cosa che non mi quadra.
E' possibile che la sola aggiunta di un codice identificativo possa determinare una tale discontinuità e modificare in questo modo le probabilità di quello che è, in fin dei conti, sempre lo stesso evento ? Non ci credo.
Dopo averci pensato su per benino, e averci riflettuto in modo approfondito ed esauriente, diciamo un paio di bicchierini almeno, sono giunto alla seguente conclusione:
Non è vero che se ho controllato un gatto qualsiasi ed è maschio, le probabilità che siano maschi tutti e due sia 1/3.
Abbiamo eliminato la possibilità che siano due femmine; rimangono possibili i rimanenti tre casi:
- tutti e due maschi: e questo è un evento che può darsi qualunque sia il gatto già esaminato;
- nero maschio e tigrato femmina: ma questo è, a questo punto, un evento possibile solo nel caso che il gatto già esaminato sia quello nero: quindi solo per il 50 % dei casi possibili; la sua probabilità, secondo me, andrebbe quindi moltiplicata per 0,5.
- nero femmina e tigrato maschio: possibile solo nel caso che il gatto esaminato per primo sia quello tigrato: l'altro 50 % di probabilità.
Quindi, è vero che i casi possibili sono tre, e solo uno porta al risultato "due maschi"; ma, per le premesse date, i tre casi non sono equiprobabili, e le probabilità delle due situazioni che conducono a un maschio e una femmina, a mio modestissimo parere, vanno a loro volta moltiplicate per 0,5: ed ecco che si ritorna al solito 50 % previsto da tutte le altre condizioni descritte.
Trovata una soluzione al mio dilemma, che mi sembra tutto sommato ragionevole, mi trovo ora di fronte ad un dilemma ancora peggiore: E' mai possibile che abbia ragione io, che sono un dilettante allo sbaraglio, e che fior di specialisti ben più qualificati di me si siano fatti sfuggire la soluzione corretta ?
Mi sembra davvero difficile da credere, e richiederà ulteriori meditazioni. Dovrò stappare un'altra bottiglia.